黎曼,他对素数有着迷人的依恋


黎曼几何学是爱因斯坦广义相对论的基石,彻底否定了康德关于物质世界必然是欧几里得式的断言。他还提出了数学领域最负盛名的黎曼猜想,数学领域最后一个“百事通”、哥根廷数学学派的希尔伯特弥留之际曾说,假如五百年以后自己能复活,最想知道的是:“黎曼猜想是否已经被证明?”


本文来自微信公众号:读书杂志(ID:dushu_magazine),作者:蔡天新,头图来自:电影《星际穿越》


二〇一九年春天,包括上海天文台在内的全球六家天文观察机构同时发表声明,公布了他们合作拍摄的首张黑洞照片。此前两年,引力波被直接探测到和阿蒂亚爵士宣布证明黎曼猜想这两项重大科学新闻,同样引发了全球公众的高度关注,丝毫不亚于一年一度的奥斯卡颁奖礼。


物理学家爱因斯坦再次成为人们膜拜的偶像,与黑洞一样,引力波的存在也是他的广义相对论所预言的。然而,有一个关键性人物被忽视了,那便是十九世纪的天才数学家伯恩哈德·黎曼,他建立的黎曼几何学是广义相对论的基石,同时他还提出了迄今为止数学领域最负盛名的黎曼猜想。


一、外表文弱羞怯的年轻人


二〇一〇年秋天,我应德国哥廷根大学一位数学同行的邀请,来到慕名已久的数学圣地做客一个月。一个星期六的早上,我独自开始了火车之旅。那天我上午游览不来梅,下午游览汉堡,它们是柏林以外仅有的两座直辖市,也是德国吞吐量最大的两个港口,分别位于威悉河和易北河下游。


在汉堡用过晚餐之后,我踏上了归途。与来时路线相反,我选择了东线,经过吕讷堡、于尔岑,到汉诺威后再换车返回哥廷根。


巧合的是,这几座城镇恰好都与本文主人公黎曼有着密切的关联。黎曼在汉诺威和吕讷堡念的中学,而于尔岑是离他出生地和度过童年时光的两个小村(他的父亲是村里的牧师)最近的火车站。


即便黎曼时代不通火车,这里也是他去往哥廷根求学的必经之地。火车在日落时分抵达,靠站后我下车去拍摄了站牌,在那短促的几分钟里,我满脑子都是黎曼。


于尔岑,离黎曼故乡最近的火车站(蔡天新摄)


然而,关于黎曼的生平,至今我们所知的仍然不多,他本人也没有留下内心活动的记录,只有部分往来的书信。黎曼的同代人里,只有他的师弟戴德金,在黎曼去世十年以后编撰他的文集时为他写下一篇十七页的小传。戴德金是黎曼与他共同的导师高斯的同乡,出生在不伦瑞克,他是高斯的关门弟子。  


依照戴德金的描述,黎曼是个极为羞怯的人,每当出现在人群中,他都会觉得不自在。


这与他从小所处的宗教环境不无关系,他的家族成员都是虔诚的路德教徒,他们“每天在上帝面前自我反省”。家族成员之间的关系则非常亲密,每次离开家,黎曼便会犯思乡病,如同法国前辈数学家、思想家帕斯卡,或者后来客居英伦的印度数学天才拉马努金。


此外,他和拉马努金还有一个共同的老朋友——肺结核。


除了思乡病和肺结核,黎曼还是一位疑病症患者,这个词是如今流行的抑郁症的同义语。只不过由于黎曼遗孀的请求,戴德金才避免使用它。黎曼的妻子是其姐姐的朋友,他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得长久的人。


在他们备受崇敬和爱戴的父亲去世以后,黎曼经常沉浸在痛苦的回忆之中,幸好他有一座安逸的避风港,那就是他的数学世界。特别地,黎曼对素数及其分布有着一种深深的、迷人的依恋。




黎曼手迹


那时候德意志已开始实行教育家冯·洪堡倡导的教育改革,大学的首要任务是教学,尤其是培养优秀的中学教师,而把研究工作交给科学院。


于是乎,伟大的数学家高斯也被要求讲授“线性代数”,唯有冯·洪堡本人创办的柏林大学例外,那里的数学研究处于领先地位,尽管没有高斯那样史诗般的英雄人物。幸好还有条规则,学生学习期间可以到其他学校修学。为了汲取更多的营养,黎曼转学到了柏林。


在柏林大学的两年期间,黎曼如饥似渴地学习新的、充满活力的数学,那会儿年富力强的数学家雅可比、狄里克莱、施坦纳和艾森斯坦等人都在柏大。


黎曼向他们学了很多东西——从雅可比那里学到高等代数和高等力学,从狄里克莱那里学到数论和分析,从施坦纳那里学到了现代几何,而从仅仅比他年长三岁的艾森斯坦那里则学到了椭圆函数和自信。他有信心超越前辈同行。


二、一颗太阳一样辉耀的心


一八四九年,黎曼从柏林回到哥廷根。两年以后,他以一篇题为《单复变函数一般理论的基础》的论文获得博士学位,那年他二十五岁。在哥廷根大学求学的最后一年半,他以极大的兴趣去听哲学讲座和韦伯的实验物理学课程,把他的纯粹数学暂时放到一边。


这使得他后来的数学工作常常处于更深的哲学背景下,同时毕生保持了对物理学的浓厚兴趣。虽说黎曼外表文弱、羞怯,内心却勇敢而强大,有一颗像太阳那样辉耀的心,加上卓越的才华,使他具备一种惊人的冲击力和能量。


复变函数论是数学的重要分支,黎曼与法国人柯西、德国同胞维尔斯特拉斯被公认为这一分支的三大奠基人,他们的出发点有所不同,柯西是从分析出发,维尔斯特拉斯是从函数论出发,而黎曼则是从几何出发。黎曼给单值解析函数下了严格的定义,还对多值函数定义了黎曼曲面。


此外,他还率先研究了曲面拓扑,并解决了曲面上函数存在性和唯一性的问题,这对后世有着重要影响。这篇论文是十九世纪数学的经典,但在当时除了被高斯关注以外,并未引起太大反响。直到三年以后,黎曼才被哥廷根大学聘为无薪讲师。


哥根廷数学研究所走廊里的黎曼像(蔡天新摄)


一八五四年,黎曼为无薪讲师职位做了就职演讲。黎曼向系教授会提交了三个题目,其中两个是关于数学物理的,他原本希望能选中这两个题目中的一个,因为他已经有所准备。但是最后时刻他又说出了第三个题目,是关于几何基础的。


没想到高斯对这个问题更感兴趣,他本人对此已考虑多年,并与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家鲍耶各自建立了一种非欧几何学,即罗氏几何。黎曼并未有完全的把握,也只好硬着头皮上台了。


黎曼任无薪讲师时的居所(蔡天新摄)


黎曼演讲的题目是《论作为几何学基础的假设》,从中他建立起黎曼几何学的基础,并给出了黎曼度量的定义。


他把高斯的内蕴几何从欧几里得空间推广到任意n维空间,并称其为流形,再把流形上的点用n元有序数组表示。黎曼还引进子流形和曲率的概念,让他尤其关注的是所谓“常曲率空间”,即每一点上曲率都相等的流形。这种常曲率有三种可能性:曲率为正常数,曲率为负常数,曲率为零。


黎曼指出,第二种和第三种分别对应于罗氏几何和欧氏几何,而第一种情形对应的则是他创造的黎曼几何。在欧氏几何里,过已知直线外一点恰好能做一条直线与该直线平行;在罗氏几何里,过已知直线外一点可做不止一条直线与该直线平行;而在黎曼几何里,过已知直线以外一点不能做任何直线与该直线平行。可以这么说,黎曼是第一个理解非欧几何学全部意义的数学家。


作为黎曼几何的球面,其上的三角形内角和大于180度


黎曼的演讲所含思想如此丰富和先进,人们用诸如“划时代的”“不朽的”等词形容它。六十年以后,爱因斯坦广义相对论所需要的数学工具,即三维空间和时间可以在数学上处理为四维空间,已包含其中。


作为牛顿之后最重要的科学发现,广义相对论首次把引力场解释成时空弯曲,并推导出大质量恒星最终归结为一个黑洞。而在黎曼几何里,球面上两点的最短距离正是弯曲圆弧的一部分。


黎曼担任无薪讲师的第二年,高斯去世了,黎曼在柏林大学时的老师狄里克莱继承了高斯的职位,没料到四年以后,狄里克莱也去世了。在此期间,黎曼的父亲、弟弟和两个妹妹相继去世,他永远失去了故乡的避难所。


一八五九年七月三十日,黎曼继承了高斯的职位,晋升为正教授。他和他仅存的两个姐妹搬进了天文台,那是高斯生前居住过的地方。之后,荣誉接踵而来,在黎曼晋升教授仅仅十二天以后,三十二岁的他被任命为柏林科学院通讯院士。


哥根廷天文台,继高斯之后,黎曼一家也曾住在这里(蔡天新摄)


三、他对素数有着迷人的依恋 


在授予柏林科学院通讯院士的仪式上,黎曼又做了一次题为《论小于一个给定值的素数个数》的重要报告。他先是向高斯和狄里克莱两位前辈表达敬意和感谢,接着引入十八世纪数学家欧拉发现的关于素数的无穷乘积的级数展开式,那被认为是解析数论的金钥匙。


黎曼把上述级数展开式命名为函数ζ(s),它被后人称为黎曼ζ函数,即从1到无穷正整数n的s次方倒数之和。容易推出,这个函数在负实数轴的偶数点均取零值,这被称为平凡零点。










黎曼论文《论小于一给定值的素数个数》,此文提出了著名的黎曼猜想


这是黎曼在数论领域发表的唯一一篇论文,也是迄今为止这个被称为“数学皇冠”领域里最重要的一篇文献。换句话说,柏林(而非哥廷根)非常偶然地成为如今赫赫有名的黎曼猜想的诞生地。这个猜想是说:黎曼ζ(s)函数的所有非平凡零点都在实部为1/2那条垂线上。


黎曼之所以用那个题目,是因为高斯曾提出“小于某个给定值的素数个数”这一非常热门的问题。假设不超过x的素数个数为π(x),高斯猜测π(x)~x/lnx。这便是著名的素数定理。


十九世纪的最后十年,素数定理忽然有了转机。一八九〇年,法国科学院设立了大奖,授予“确定小于一个给定值的素数个数”的最佳论文。结果,年轻的法国人阿达玛拿走了大奖,但他并没有证明素数定理。


三年以后,德国数学家冯·曼戈尔特得出一个结论:如果某个比黎曼假设弱得多的猜想获得证明,那就可以证明素数定理。这个弱黎曼猜想是说:黎曼ζ函数的非平凡零点实部小于1。


正是沿着这个思路,翌年阿达玛杀了一个回马枪,证明了上述弱黎曼猜想,从而证明了素数定理。与他分享这个成就的还有比利时人普桑,幸运的是,他们之间并没有像牛顿与莱布尼茨那样出现“优先权之争”,这可能是“论证”与“发明”的差异。


半个多世纪以后,挪威人赛尔贝格和匈牙利人爱多士各自用初等方法再次证明了素数定理,仍收获巨大的荣誉,分别得到菲尔兹奖和沃尔夫奖。


素数定理是十九世纪的大白鲸,也就是说,是最吸引人、最具挑战性的数学难题,就如同二十世纪的费马大定理,它们都在世纪末获得证明。有个说法,谁证明素数定理,谁就将获得永生。事实上,普桑是在九十六岁差五个月时去世,而阿达玛走时九十八岁差两个月。


阿达玛的人生经历过磨难,他的三个儿子均死于两次世界大战,最钟爱的孙子死于登山事故。一九三六年,阿达玛曾来清华大学访学,其间帮助华罗庚与苏联数学家维诺格拉多夫建立了联系。


无论如何,素数定理的证明是一个转折点。它是由弱黎曼猜想推导出来的。可以这么说,假如没有黎曼出人意料的工作,素数定理是否能在今天获得证明仍不好说。与此同时,因为素数定理的证明,黎曼猜想一下子被推到了前台,每个数学家都要面对或被问及。以至于在二〇一八年秋天,年迈的菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者阿蒂亚爵士事先昭告天下,并在海德堡当众宣布他证明了黎曼猜想。


可是,他的证明并不成立。


让时间回到一九〇〇年八月八日,哥廷根数学学派掌门人希尔伯特在巴黎大学登台演讲。那是第二届国际数学家大会的一个特邀报告,希尔伯特的演讲题目是《数学问题》—开头那句话,数学人都十分熟悉,就如同文学爱好者熟悉加西亚·马尔克斯《百年孤独》的开篇。“我们当中有谁不想揭开隐藏着未来的帷幕,看一看我们这门学科接下来的进展和在未来世纪中如何发展的奥秘?”


希尔伯特列举出了二十三个问题,它们为二十世纪数学的发展指明了方向。在他的问题中,被公认为最重要、最难解决的是第八个问题,其中提到了三个与素数有关的难题——哥德巴赫猜想、孪生素数猜想和黎曼猜想。在那以后,黎曼猜想也引起了海峡对岸英国数学家的关注。


在此以前,由于微积分学的“优先权之争”,使得海峡两岸数学交流中断了一个多世纪,英国数学大大地落后了。直到哈代的出现,才又有了剑桥学派,英国数学再度崛起。


晚年的哈代出版了一本奇特的散文集《一位数学家的辩白》。将近七十年之后,我造访剑桥时仍在书店的显著位置见到此书。正是哈代发现了印度数学天才拉马努金,他也是华罗庚访问剑桥时的指导老师。一九一四年,即第一次世界大战爆发之年,哈代率先证明了:黎曼ζ函数在实部为1/2这条直线上存在无穷多个零点。


与此同时,也有人认定黎曼猜想不成立,其中就有“电子计算机之父”图灵,他是哈代的学生。从二十六岁开始,图灵着迷于寻找一个实部非1/2的非平凡零点。起初他试图设计机械计算装置来生成反例,后来因“二战”中断了。战后图灵借助计算机算出了一千零五十四个零点,可惜没有一个是他希望的反例。


不然的话,即便因性取向遭受歧视和侮辱,相信他也不会去咬那只涂有氰化物的苹果。如今,人们已算出数千亿个非平凡零点,它们依旧在实部1/2那条线上。


四、世间万事万物相互助力


虽说牛顿既是数学家又是物理学家,但这两个身份并没有真正的区别,对黎曼来说,这种区别也不明显。黎曼的想象力很大程度上类似于物理学家,在他生前发表的所有十篇论文中,有四篇属于物理学的范畴。


这十篇论文相互独立,各自引领一个方向或学科。如同《英国百科全书》“黎曼”条目所写的:“他的学术成果大部分是杰作——充满了独创性的方法、意义深刻的思想和广泛深远的想象。”


黎曼毕生保持着对物理学的浓厚兴趣,他热衷于研究热学、声学、电学和光学。黎曼的论文《论有限振幅平面声波的传播》讨论了压缩波和膨胀波:压缩波压缩得越厉害,波速更快;膨胀波膨胀得越厉害,波速减缓。一八六〇年,黎曼发表了《热传导的一个问题》,从中发展了二次微分形式,它也是相对论的基础。同年,黎曼访问了巴黎,受到法国数学同行的热情接待,他们给予黎曼极大的赞赏。


一八六二年夏天,三十六岁的黎曼结婚了,夫人叫爱丽丝。婚后不到一个月,他患上了胸膜炎,继而导致肺结核。从此黎曼与意大利结了缘,他生命最后的四年基本上是在亚平宁度过的,那里有着温暖的气候。


黎曼很喜欢意大利的艺术,他的独女伊达在比萨出生。有两次黎曼以为自己康复了,但穿越阿尔卑斯山的旅途劳顿和严寒天气又使得病情复发,幸好哥廷根大学方面慷慨地一再延长他的休假期。


黎曼像(1863年)


英裔美国作家德比希尔毕业于伦敦大学数学系,他的《素数之恋》曾获首届欧拉图书奖(二〇〇七年,本文从此书中文版选取了一些素材)。他把数学家分成两类,即逻辑型的和直觉型的,并举维尔斯特拉斯和黎曼为例。


他认为维尔斯特拉斯是攀岩者,每一步都建立在坚实的论证基础上,而黎曼则是空中飞人表演者,有很强的直观想象力和跳跃性的思维。这让我想起新近因为新冠肺病去世的美国物理学家戴森,他写的《飞鸟与青蛙》也把天才人物做了相似的分类。


在生命的最后一年,黎曼接连获得荣誉。巴黎科学院选举他为通讯院士,英国皇家学会选举他为外籍会员。与此同时,他的病由于结合了黄疸症而变得越发严重。一八六六年七月二十日,黎曼在意大利北部的塞拉斯加与世长辞。


黎曼走时十分宁静,由他父亲传递给他的那份虔诚始终伴随着他。而黎曼这个名字,无论过去、现在还是将来,都将永远伴随着每一位数学工作者。黎曼安葬在阿尔卑斯山南麓的马焦雷湖畔,墓碑上刻写着圣徒保罗的一句话:


世间的万物相互助力,爱神的人必诸事顺畅。


意大利马焦雷湖畔的黎曼之墓


黎曼下葬后,爱丽丝带着伊达(英国诗人拜伦的独女也叫伊达,她是第一个计算机程序员)返回了哥廷根。伊达成年以后嫁给一位数学博士,黎曼的这位从未谋面的女婿后来出任不来梅一所航海学校的校长,把岳母和岳父唯一在世的姐姐(也叫伊达)接了过去。他们组建了一个大家庭,儿孙的数目难以统计,黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中。


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